ɪᴅᴇɴᴛɪᴛᴀꜱ ᴛʀɪɢᴏɴᴏᴍᴇᴛʀɪ

RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

Pada materi ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut kemudian menggunakan rumus tersebut dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.

Penguasaan materi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat membantu dalam mempelajari materi ini.

Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :
sin (90° - θ) = cos θ
cos (90° - θ) = sin θ
sin (180° - θ) = cos θ
cos (180° - θ) = -sin θ
sin (-θ) = -sin θ
cos (-θ) = cos θ

sin (α + β) dan sin (α - β)

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.
∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α

Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α =

\frac{Q T}{O Q}

QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh
cos α =

\frac{P R}{P Q}

PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan

sin (α + β) = QT + PR

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka

sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) dan cos (α - β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) dapat kita tentukan dengan cara yang hampir sama seperti rumus sinus diatas. Namun, karena rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih mudah jika kita gunakan konsep sudut relasi kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tan (α + β) dan tan (α - β)

Berdasarkan identitas rasio, tan θ =

\frac{s i n θ}{c o s θ}

, akibatnya

tan (α + β) =

\frac{s i n (α + β)}{c o s (α + β)}

tan (α + β) =

\frac{s i n α c o s β + c o s α s i n β}{c o s α c o s β - s i n α s i n β} \times \frac{\frac{1}{c o s α c o s β}}{\frac{1}{c o s α c o s β}}

tan (α + β) =

\frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α t a n β}

Jika β diganti dengan -β, maka
tan (α + (-β)) =

\frac{t a n α + t a n (- β)}{1 - t a n α t a n (- β)}

tan (α + (-β)) =

\frac{t a n α - t a n β}{1 + t a n α t a n β}

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi tangen sebagai berikut

tan (α + β) = $\frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α t a n β}$

tan (α - β) = $\frac{t a n α - t a n β}{1 + t a n α t a n β}$

Kesimpulan

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tan (α + β) = $\frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α t a n β}$
tan (α - β) = $\frac{t a n α - t a n β}{1 + t a n α t a n β}$

Contoh soal:

Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !

Jawab:

Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°

cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q - sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q - 1 . sin Q = 2/3
0 - sin Q = 2/3
sin Q = -2/3

P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° - Q

cos R = cos (90° - Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3

Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3.

Cari Blog Ini

Faiddatul Aulia